形象化解释#

要从地球的南极走到北极，我们是没有办法穿过地心走直线的，只能沿着地球表面先走到赤道，然后再走到南极，这就是走了一段曲线距离，但是这个在球面的流形空间中，就是最短的距离。

严格定义#

黎曼几何中，测地线是满足以下条件的曲线（另外吐槽一下这个中文名，人家英文名起的多好，信达雅，中文名起的简直就是不知所云）：

1. 局部最短路径：这条曲线在局部的长度，是两点间最短的长度
2. 测地线的切向量沿自身做“平行移动”（parallel transport），速度方向“没有被外力弯曲”，类似牛顿第一定律（惯性运动）。

应用#

基本上只要是非欧空间，都有测地线思想的应用。

• 概率分布的空间中，使用 KL/FIsher metric 来做分布间的 geodesic distance
• 角度空间，是 空间，这就是 MSE 方法不好的原因，因为 MSE 认为 ，但是角度空间中，，MSE 会认为这是很大的误差。所以正确的方法应该是用圆弧（单位圆上，弧长=角度 x 半径，而两点间的距离就是沿圆弧的圆上的最短路径）

或者，嵌入到欧几里得空间，把角度映射到单位圆： ，然后再用 MSE：，其实还是算的圆上的 geodesic distance 的等价度量（上面才是真正的 geodesic distance），也就是单调相关。

那为什么不直接用真正的测地线距离呢？这就需要考虑到实际优化的场景了：

• 测地线的损失：, 在 0 处不可导，在 有折点，梯度不连续。
• MSE，处处光滑可导，梯度连续，数值稳定，在微小 时等价于测地线距离。
• 测地线的梯度：，远离目标 → 梯度大，可能不稳定。
• MSE 的梯度：cosine loss：，小误差：≈ 线性（很好），大误差：梯度饱和（更稳）

其实又是大一统思想，我们优化的永远是真实的信息的光滑代理